PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

      Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Dalam persamaan kuadrat , a adalah koefisien dari x², b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.

Contoh:

1.      x² – 4, nilai  a = 1, b= 0, c = -4

2.      x² + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0

3.      x² – 5x +  2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2

4.      x² + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2

2. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan  dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat .

Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara:

1.      Memfaktorkan

2.      Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

3.      Menggunakan rumus kuadrat

1.      Memfaktorkan

Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a.       x² – 9 = 0

b.     

c.      

Jawab:

a.   x² – 9 = 0

 atau

b.

     

                                    <=>

                                    <=>  atau

                                    <=>  atau

c. 

 atau

 atau

2.      Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Bentuk seperti 16 = 4²; 4x² = (2x)²; (x + 1)²; (2x – 3)²

merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk  dapat dimanipulasi aljabar sbb.

 memuat bentuk kuadrat sempurna

Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna

semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

     

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a.

b.   

Jawab :

 a. 

                                    <=>

                                    <=>

                                    <=>

                                    <=>

                                    <=>

                                    <=>

                                    <=>  atau

b.  

                                                             

                             

3.    Menggunakan rumus kuadrat

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat .

Prosesnya sbb:

Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.

Misalkan a, b, c bilangan rela dan  maka akar-akar persamaan kuadrat  ditentukan oleh:

 

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a.

b.

Jawab :

     a.

                             <=> a = 1, b = 3, c = 2

                             <=>

                                    <=>

                                    <=>   atau

                                    b.

                                         a = 3, b = -6, c =2

                                   

                                   

                                     atau

3. Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan
   
   

Penyelesaian persamaan kuadrat  adalah

Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b² – 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.

Jenis akar-akar persamaan kuadrat , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D =

·         Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda

Untuk D berupa bilangan kuadrat () akarnya rasional

Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional

·         Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama

·         Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan  tentukan jenis akar-akarnya !

      Jawab :

       

                                    <=>

                                                =

                                                = 25

                                                =

                               Jadi  mempunyai dua akar berlainan dan rasional

           

4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat  adalah

 atau

Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:

1.    Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

2.    Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

           

Contoh
Jika  dan  akar-akar persamaan kuadrat , tentukan nilai dari :

Jawab :

5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya

Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara

a. Memakai faktor

Apabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x₁)(x-x₂) = 0 maka x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Sebaliknya apabila x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus

b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan kuadrat  bila kedua ruas dibagi dengan a diperoleh

Jadi persamaan  dapat dinyatakan dalam bentuk:

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 !

Jawab :

a.       Cara 1

b.      Cara 2

6. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat

Jawab :

a.       Cara 1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat  adalah  dan  maka  dan . Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat  dimisalkan α dan β, maka  dan . Jadi: didapat jumlah akar  dan hasil kali akar

Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah :

  

                        <=> 

                        <=> 

b.      Cara 2

                                    <=>

                                    <=>

2. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:

1.

2.

3.

4.

         

dengan a, b, c bilangan real dan

         

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

1. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus  grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan . Sketsa grafik parabola  diperlihatkan pada gambar berikut:

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.

          Jadi  dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.

          Jadi  untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.

          Jadi  dalam selang – 1 < x < 4.

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat  atau parabola  dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

a.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

b.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

c.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

d.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat  dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ; ; ;

Contoh:

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat  carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

a.

b.

c.

d.

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat  atau parabola  diperlihatkan pada gambar berikut:

a.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah Himpunan kosong ditulis

b.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah 

c.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah

d.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah  dapat juga ditulis

2. Dengan garis bilangan

Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan

                   Langkah 1

                   Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

                  

                  

                  

                    atau

                   Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.

Misalnya:

 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0

 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4  (1) atau < 0

 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0

                  

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan  adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah  atau x > 4}

3. Pertidaksamaan Rasional

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

i.

ii.

iii.

iv.

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional

dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.

Langkah 1

          Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0à x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x – 3 = 0 à x = 3.

Langkah 2

          Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.

Misal  x = -2 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0.

x = 0, maka nilai  dari  sehingga tanda dalam interval -1<x<3 (-) atau < 0.

x = 4, maka nilai  dari  sehingga tanda dalam interval –x > 3  (+) atau > 0.

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah -1 < x < 3 dan himpunan penyelesaiannya adalah

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari  !

Jawab :

Harga nol pembilang                            Harga nol penyebut

                                           

                                         

                                       Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0     

                                                          atau x > 1

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari

Jawab:

Harga nol pada pembilang

 atau

Harga nol penyebut

 atau x =2

Jadi himpunan penyelesaian dari  adalah  atau  atau x >3}

4. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !

Jawab :